Première NSI

Introduction — De la numération aux bases

Pour écrire les nombres, on peut compter des marques, combiner des symboles ou tenir compte de leur position. Dans la numération de position, la contribution d'un chiffre dépend de sa place dans l'écriture du nombre.

Ainsi, dans 2026, le 2 de gauche représente deux milliers, le 0 zéro centaine, le second 2 deux dizaines et le 6 six unités :

2026 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 2 × 10¹ + 6 × 10⁰ = 2000 + 20 + 6.

I. Lire une écriture et retrouver sa valeur en base 10

A. Chiffres, positions et poids

En base 10, on utilise dix chiffres, de 0 à 9. En base 2, on utilise seulement 0 et 1 : un chiffre binaire est appelé un bit.

En base 16, on utilise 0 à 9, puis A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 et F = 15.

On précise la base en indice : 10110₂, 22₁₀, A9₁₆.

Les positions sont numérotées à partir de 0, de droite à gauche. En base b, le chiffre de position i a pour poids bⁱ. La position 0 a donc pour poids 1, quelle que soit la base.

Position	4	3	2	1	0
Poids en base 10	10 000	1 000	100	10	1
Poids en base 2	16	8	4	2	1
Bits de 101102	1	0	1	1	0

Les circuits numériques distinguent deux états physiques, par exemple deux niveaux de tension, que l'on représente par 0 et 1. Cela explique l'usage du binaire en informatique.

B. Convertir du binaire ou de l'hexadécimal vers le décimal

Pour 10110₂, les poids sont 1, 2, 4, 8, 16 en partant de la droite :

C. Quelques observations en binaire

Un entier naturel est pair si son bit de poids faible vaut 0, et impair s'il vaut 1 : tous les autres poids sont des multiples de 2.

Ajouter un 0 à droite multiplie la valeur par 2 : 1011₂ = 11₁₀ et 10110₂ = 22₁₀. Supprimer le bit de droite donne le quotient de la division entière par 2. Ces observations supposent que l'on ne limite pas le nombre de bits disponibles.

II. Passer de la base 10 à la base 2 ou 16

A. Effectuer des divisions euclidiennes successives

B. Autre méthode en binaire : décomposer en puissances de 2

On essaie de soustraire les puissances de 2, de la plus grande utile jusqu'à 1 :

• si la soustraction donne un résultat positif ou nul, on l'effectue et on écrit 1 ;
• sinon, on garde le reste tel quel et on écrit 0.

III. Passer directement du binaire à l'hexadécimal

Comme 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de quatre bits.

Hexadécimal	0	1	2	3	4	5	6	7
Binaire	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111

Hexadécimal	8	9	A	B	C	D	E	F
Binaire	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

A. Du binaire vers l'hexadécimal

Regrouper les bits par quatre en partant de la droite. Compléter uniquement le groupe de gauche avec des zéros si nécessaire, puis remplacer chaque groupe par son chiffre hexadécimal.

B. De l'hexadécimal vers le binaire

Remplacer chaque chiffre hexadécimal par quatre bits, puis juxtaposer les groupes.

À retenir

Repères dans les trois bases

Chaque ligne représente la même valeur dans trois bases. Les bits sont regroupés par quatre ; les zéros ajoutés à gauche ne changent pas la valeur.

Hexadécimal (base 16)	Décimal (base 10)	Binaire (base 2)
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111
10	16	0001 0000
1F	31	0001 1111
20	32	0010 0000
3F	63	0011 1111
40	64	0100 0000
7F	127	0111 1111
80	128	1000 0000
A9	169	1010 1001
FE	254	1111 1110
FF	255	1111 1111
100	256	0001 0000 0000
1C8	456	0001 1100 1000
1FF	511	0001 1111 1111
200	512	0010 0000 0000
3FF	1023	0011 1111 1111
400	1024	0100 0000 0000
7EA	2026	0111 1110 1010

Feuille d'exercices — Changements de base.

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